一元二次方程教学设计

(通用)一元二次方程教学设计

　　作为一位杰出的老师，往往需要进行教学设计编写工作，教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？下面是小编精心整理的一元二次方程教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。

一元二次方程教学设计1

　　教学目标

　　一、 教学知识点

　　1、 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　2、 理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

　　3、 理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.

　　二、 能力训练要求

　　1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探 索能力和创新精神

　　2、通过观察二次函数与x 轴交 点的个数，讨论 一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.

　　3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.

　　三、 情感与价值观要求

　　1、 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

　　2、 具有初步的创新精神和实践能力.

　　教学重点

　　1.体会方程与函数之间的联系.

　　2.理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

　　3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.

　　教学难点

　　1、探索方程与函数之间的联系的过程.

　　2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

　　教学方法

　　讨论探索法

　　教学过程：

　　1、 设问题情境，引入新课

　　我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函数y =kx+b (k0)的关系，你还记得吗?

　　它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方 程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

　　现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.

　　2、 新课讲解

　　例题讲解

　　我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么

　　(1)h 与t 的关系式是什么?

　　(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?

　　小组交流，然后发表自己的看法.

　　学生交流：(1)h 与t 的关系式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0

　　为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可

　　求出h 与t 的关系式h =-5t 2+40t

　　(2)小球落地时h为0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是

　　-5t 2+40t=0

　　t 2-8t=0

　　t(t- 8)=0

　　t=0或t=8

　　t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.

　　也可以观察图像，从图像上可看到t =8时小球落地.

　　议一议

　　二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像如下图所示

　　(1)每个图像与x 轴有几个交点?

　　(2)一元二次方程x2+2x=0 , x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下, 一元二次方程x2-2x +2=0有根吗?

　　(3)二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系?

　　学生讨论后，解答如 下：

　　(1)二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.

　　(2)一元二次方程x 2+2x=0有两个根0，-2 ;x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ;方程x2-2x +2=0没有实数根

　　(3)从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点(0,0),(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;

　　二次函数y=x2-2x+1的'图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2-2x+1=0 有两个相等的实数根1或一个根1

　　二次函数y=x2-2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2-2x +2=0没有实数根

　　由此可知 ，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

　　小结：

　　二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时 ，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

　　基础练习

　　1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.

　　(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+4

　　2、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ;若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是

　　3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .

　　4、已知抛物线y=x2+px+q与x 轴的两个交点为(-2，0)，(3，0)，则p= ，q= .

　　5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.

　　6、抛物线y=a x2+bx+c(a0)的图象全部在轴下方的条件是( )

　　(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0

　　(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0

　　想一想

　　在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m?你是怎样知道的?

　　学生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得

　　-5t 2+40t=60

　　t 28t+12=0

　　t=2或t=6

　　因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是6 0 m.

　　课堂练习 72页

　　小结 ：本节课学习了如下内容：

　　1、若一元二 次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0 )， B( x2，0 )

　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个二次之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?

一元二次方程教学设计2

　　一、教学内容分析

　　华师版九年级(上)23章《一元二次方程的根的判别式》一节，教材中作为阅读材料。从推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位。

　　从知识的发展来看，学生通过对一元二次方程的根的判别式的学习，可以巩固已学过实数、整式、二次根式、一元一次不等式、一元二次方程的相关概念、一元二次方程的解法等知识，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究二次函数的图像与x轴交点情况，二次三项式以及二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。

　　通过这一节的学习，使学生会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，感受数学的简洁美。

　　教学重点：根的判别式的正确理解和运用

　　教学难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用。

　　二、学情分析

　　学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。

　　九年级学生的认识水平渐渐由具体直觉占优势过渡到抽象思维占优势。教师的指导方法应适应他们的认知特点和相应规律。

　　从数学思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

　　三、教学目标

　　知识和技能目标：

　　1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证;

　　2、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围;

　　过程和方法目标：

　　1、经历一元二次方程的根的判别式的产生的过程;

　　2、向学生渗透分类的数学思想;

　　3、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

　　情感态度价值观目标：

　　1、体验数学的简洁美;

　　2、培养学生的探索、创新精神和协作精神。

　　四、教法、学法：

　　教法：

　　1、探索发现：本着“以学生发展为本”的教育理念，教师启发、诱导，学生探索发现新知识;

　　2、观察演示：通过典型例题的分析、研究，引发学生的思考、质疑、解疑;

　　3、归纳总结：通过课堂小结，完善认知结构，提高认识能力;

　　4、讲练结合：通过变式训练、拓展训练，让学生学会分类、类比、转化等数学思想，培养学生分析问题和解决问题的能力。

　　学法：

　　1、自主探索：为了体现课改中“以学生为主体”的教育理念，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与发现、归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

　　2、合作交流：课上通过师生之间的互动，学生与学生之间的互动，充分发挥学生的主体作用。

　　五、教学过程：

一元二次方程教学设计3

　　学情分析

　　学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。

　　教学目标：

　　知识技能

　　1、理解一元二次方程的概念.

　　2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.

　　过程与方法

　　1、通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题及解决问题的能力.

　　2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

　　情感态度

　　1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

　　2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.

　　教学重难点

　　重点：一元二次方程的概念及一般形式.

　　难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型

　　教学突破：

　　1、方程是否为一元二次方程，主要看是否满足三个条件：（1）是整式方程;（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2次

　　2、一元二次方程的各项系数均是相对于一般形式而言的，因此在教学中应强调：若要确定各项的系数，应先将方程化为一般形式。另外，一定要注意符号，尤其符号不能漏掉。

　　教学过程设计

　　一、创设情境引入新课

　　问题1:

　　在长30米，宽20米的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500平方米，求道路的宽度？.

　　通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.

　　问题2：

　　参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，求有多少家参加商品交易会？

　　二、启发探究获得新知

　　1、一元二次方程的概念：经整理后，，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

　　说明：(1)由一问题得到2个方程,由学生观察归纳这2个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.

　　(2)一元二次方程必须同时具备三个特征：a)整式方程; b)只含有一个未知数; c)未知数的最高次数为2.

　　眼疾口快:

　　请抢答下列各式是否为一元二次方程：

　　（4）5x+3=10

　　说明：此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

　　2、一元二次方程的一般式：

　　试一试:

　　例1、下面给出了某个方程的几个特点：

　　它的一般形式为

　　（2）它的二次项系数为5；

　　（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。

　　请你写出一个符合条件的'的一元二次方程

　　说明：此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解

　　三、运用新知体验成功

　　小试牛刀:

　　1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并

　　写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

　　（1）5x 2 -1= 4x；

　　（2）4x 2 = 81；

　　（3）4x（x+2）=25；

　　（4）(3x – 2)( x + 1 ) = 8x - 3

　　说明：巩固练习学生整理一般形式的方法,并准确找出各项系数.此环节可找学生口答结果.另让学生落实将刚才教师板书的整理一般形式的过程,再次突出本节课的重点内容

　　2.

　　(1)小区20xx年底拥有家庭轿车64辆，20xx年底家庭轿车的拥有辆达到100辆，若该小区这两年的年平均增长率相同，求年平均增长率x；

　　（2）一个矩形的长比宽多2厘米，面积是100平方厘米，求矩形的长x；

　　（3）要组织一次篮球联赛，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，有多少队参加？

　　说明：这几题有在实际生活中应用的意义,以此题为例,教师板书整理一元二次方程的过程,让学生学会如何整理任意一元二次方程的一般形式,并能准确找到各项系数.

　　教师在此活动中应重点关注:

　　(1)由一个学生列出方程,并解释解题方法,教师进行引导,点评,引起其他学生的关注,认同.

　　(2)教师在归纳点评过程中,应注意把两队只打一场比赛解释清楚,以便学生理解题意.

　　(3)整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.

　　(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.

　　例2、当m取何值时，方程(m-2)xm2-2+3mx=5

　　是关于x的一元二次方程？

　　此题由学生思考,讨论,并由学生给出结果并进行解释.

　　说明：此活动过程中,教师应重点关注:

　　(1)此题目在上一题的基础上继续加大难度,第(1)题须强调先进行整理,再考虑二次项系数是否为零;第(2)题须先求出m值,再代入二次项系数中,验证是否为0,得到结果.

　　(2)学生解答过程中,教师把整理的一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.

　　(2)学生解答过程中,教师把整理的一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.

　　四、归纳小结拓展提高

　　1．问题：

　　本节课你又学会了哪些新知识？

　　说明：小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

　　2．还有什么疑惑？

　　五、布置作业：

　　教科书第21.1第1、2、3题.

　　板书设计

　　21.1一元二次方程

　　一元二次方程的概念：方程两边都是整式，并且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。

　　一元二次方程的一般形式

　　a表示二次项系数，b表示一次项系数，c表示常数项。

　　例1.例1、下面给出了某个方程的几个特点：

　　它的一般形式为

　　（2）它的二次项系数为5；

　　（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。

　　请你写出一个符合条件的的一元二次方程

　　例2、当m取何值时，方程(m-2)xm2-2+3mx=5

　　是关于x的一元二次方程？

　　学生学习活动评价设计：

　　关注学生在学习活动中的表现，如能否积极的参加活动，能否从不同的角度去思考问题，等等，而不是仅局限于学生列方程，判断学生各项系数的正确与否。

　　重视学生应用新知解决问题的能力的评价，鼓励学生使用数学语言，有条理地表达自己的思考过程，鼓励大胆质疑和创新。

一元二次方程教学设计4

　　课题名称

　　一元二次方程

　　科目

　　数学

　　年级

　　九年级

　　教学时间

　　一课时

　　学习者分析

　　学生的学习思维、解决问题等能力的高低叁差不齐。从学生现有的情况来看，多数同学对列方程解应用题感觉较难掌握，面对题意无法找出等量关系。另外，很多学生的计算能力也不强。因此，在教学中主要以较为简单的基础题为授课主线，其中参入少数中档题供一些学有余力的学生思考。

　　教学目标

　　一、情感态度与价值观

　　1、培养学生主动探索、敢于实勇于发现、合作交流的精神。

　　二、过程与方法

　　1、经历抽象一元二次方程的过程，使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型

　　2、经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力。

　　三、知识与技能

　　1、充分了解一元二次方程的概念

　　2、正确掌握一元二次方程的一般形式。

　　教学重点、难点

　　1、一元二次方程的概念及一般形式。

　　2、由实际问题向数学问题的转化过程。

　　3、正确识别一般式中的“项”及“系数”。

　　教学资源

　　多媒体课件

　　教学过程

　　教学活动1

　　一、创设情境，导入新课

　　问题1：

　　2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员，以此类推来完成此次培训任务。某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

　　（1）已知经过第一轮培训后该校共有11人合格，请列出满足条件的方程：

　　（2）若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？

　　问题2：

　　有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

　　问题3：

　　我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

　　教学活动2

　　二、探究新知，尝试练习

　　由以上问题得到2个方程，学生观察归纳这2个方程的特征，给出名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义。

　　归纳：

　　1、一元二次方程的'概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

　　强调定义中体现的3个特征：

　　①整式；②一元；③2次

　　练习1：判断下列各式是否为一元二次方程：

　　（1）4x2=81（2）2（x2_1）=3y（3）5x2_1=4x（4）x2+3x_c=0（5）3x（x+1）=5（x+2）

　　引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念

　　2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。

　　提问：说出下列方程的一次项系数、二次项系数和常数项

　　x2+2x—1=0x2—36x+35=0

　　练习2：说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题，并让学生找出错误理由。）

　　（1）x2十3x十2＝O（2）x2_3x十4＝0；

　　（3）3x2—5＝0（4）4x2十3x_2＝0；

　　（5）3x2_5=0；（6）6x2_x=0。

　　整理一般形式后，教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法，如去括号，移项，合并同类项，去分母。

　　教学活动3

　　三、合作学习，巩固提高

　　1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项

　　（1）2（x2－1）= 3 x

　　（2）3（x－3）2=（x＋2）2＋7

　　（3）3x（x—1）＝2（x十2）

　　2、我校为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（列方程并整理成一般形式）

　　教学活动4

　　四、归纳小结，布置作业

　　本节课你学会哪些新知识？

　　学生交流、讨论，谈谈自己的收获或感悟。

一元二次方程教学设计5

　　由"倍数关系"等问题建立数学模型,并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题.

　　教学目标

　　掌握用"倍数关系"建立数学模型,并利用它解决一些具体问题.

　　通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用"倍数关系"建立数学模型,并利用它解决实际问题.

　　重难点关键

　　1.重点:用"倍数关系"建立数学模型

　　2.难点与关键:用"倍数关系"建立数学模型

　　教学过程

　　一、复习引入

　　(学生活动)问题1:列方程解应用题

　　下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价(收盘价:股票每天交易结果时的价格):

　　星期 一 二 三 四 五

　　甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元

　　乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元

　　某人在这周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天的收盘价计算(不计手续费、税费等),则在他帐户上,星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元,这人持有的甲、乙股票各多少股?

　　老师点评分析:一般用直接设元,即问什么就设什么,即设这人持有的甲、乙股票各x、y张,由于从表中知道每天每股的收盘价,因此,两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价,再根据已知的等量关系;星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元,便可列出等式.

　　解:设这人持有的甲、乙股票各x、y张.

　　则 解得

　　答:(略)

　　二、探索新知

　　上面这道题大家都做得很好,这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型,那么还有没有利用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢?请同学们完成下面问题.

　　(学生活动)问题2:某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台,第一季度生产电视机的总台数是3.31万台,求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少?

　　老师点评分析:直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x.因为一月份是1万台,那么二月份应是(1+x)台,三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样"倍数"增长,即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2,那么就很容易从第一季度总台数列出等式.

　　解:设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x,则1+(1+x)+(1+x)2=3.31

　　去括号:1+1+x+1+2x+x2=3.31

　　整理,得:x2+3x-0.31=0

　　解得:x=10%

　　答:(略)

　　以上这一道题与我们以前所学的'一元一次、二元一次方程(组)、分式方程等为背景建立数学模型是一样的,而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型.

　　例1.某电脑公司20xx年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.

　　分析:设这个增长率为x,由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额,又由三月份的总营业额列出等量关系.

　　解:设平均增长率为x

　　则200+200(1+x)+200(1+x)2=950

　　整理,得:x2+3x-1.75=0

　　解得:x=50%

　　答:所求的增长率为50%.

　　三、巩固练习

　　(1)某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米?

　　(2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为__________.

　　四、应用拓展

　　例2.某人将20xx元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.

　　分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存20xx元取1000元,剩下的本金和利息是1000+20xxx·80%;第二次存,本金就变为1000+20xxx·80%,其它依此类推.

　　解:设这种存款方式的年利率为x

　　则:1000+20xxx·80%+(1000+20xxx·8%)x·80%=1320

　　整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0

　　解得:x1=-2(不符,舍去),x2= =0.125=12.5%

　　答:所求的年利率是12.5%.

　　五、归纳小结

　　本节课应掌握:

　　利用"倍数关系"建立关于一元二次方程的数学模型,并利用恰当方法解它.

　　六、布置作业

　　1.教材P53 复习巩固1 综合运用1.

　　2.选用作业设计.

　　作业设计

　　一、选择题

　　1.20xx年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是( ).

　　A.100(1+x)2=250 B.100(1+x)+100(1+x)2=250

　　C.100(1-x)2=250 D.100(1+x)2

　　2.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为( ).

　　A.(1+25%)(1+70%)a元 B.70%(1+25%)a元

　　C.(1+25%)(1-70%)a元 D.(1+25%+70%)a元

　　3.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为( ).

　　A. B.p C. D.

　　二、填空题

　　1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_______kg,第三年的产量为_______,三年总产量为_______.

　　2.某糖厂20xx年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计20xx年的产量将是________.

　　3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在1999年涨价30%后,20xx年降价70%至a元,则这种药品在1999年涨价前价格是__________.

　　三、综合提高题

　　1.为了响应国家"退耕还林",改变我省水土流失的严重现状,20xx年我省某地退耕还林1600亩,计划到20xx年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量.

　　3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营.

　　(1)如果第一年的年获利率为p,那么第一年年终的总资金是多少万元?(用代数式来表示)(注:年获利率= ×100%)

　　(2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.

　　答案:

　　一、1.B 2.B 3.D

　　二、1.6(1+x) 6(1+x)2 6+6(1+x)+6(1+x)2

　　2.a(1+x)2t

　　3.

　　三、1.平均增长率为x,则1600(1+x)2=1936,x=10%

　　2.设乙型增长率为x,甲型一月份产量为y:

　　则

　　即16x2+56x-15=0,解得x= =25%,y=20(台)

　　3.(1)第一年年终总资金=50(1+P)

　　(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10。

一元二次方程教学设计6

　　教材分析

　　一元二次方程是九年级数学一个非常重要的内容，是首次出现的高于一次的方程。其解法的策略就是将其“降次”转化为一次方程。通过解比较简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程，再通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的`基本原理并掌握其具体方法，为后面的求根公式做准备。

　　学情分析

　　1. 教学对象：本班学生58人，这个班的特点是两头力量少，中间力量多，基础知识薄弱。但学习气氛较浓，能调动学生学习数学的积极性和挑战性

　　2. 学生的认知分析：学生虽然具备初步的解题思路，但缺乏融会贯通和应用的能力。应适当地创设一些难易、新旧相结合的问题，加强学生对知识的应用。在学习过程中培养学生自主探索与合作交流的紧密结合，促使学生在探究的过程中，更多地获得成功的体验。

　　教学目标

　　1、知识与技能：学生会用直接开平方法解方程，x2=p,x2+2mx+m2=p(p≥0)建立一元二次方程模型解决简单的实际问题，循序渐进的让学生掌握直接开平方法的做法，通过对比学会配方法解数字系数的一元二次方程

　　2情感目标：渗透转化思想，掌握一些转化技能

　　教学重点和难点

　　重点：直接开平方法，简单的配方法

　　难点：配方，把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程

一元二次方程教学设计7

　　第一课时

　　一、教学目标

　　1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

　　2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

　　3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：

　　会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

　　2．教学难点：

　　根据数与数字关系找等量关系。

　　3．教学疑点：

　　学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。

　　4．解决办法：

　　列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。

　　三、教学过程

　　1．复习提问

　　（1）列方程解应用问题的步骤？

　　①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。

　　（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）

　　2．例题讲解

　　例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。

　　分析：

　　（1）两个连续奇数中较大的`奇数与较小奇数之差为2，

　　（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。

　　以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

　　解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，

　　据题意，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得。

　　由得，由得，

　　答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。

　　解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。

　　据题意，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得。

　　当时，

　　当时，。

　　答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。

　　解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。

　　据题意，得

　　整理后，得

　　解得，，或。

　　当时，。

　　当时，。

　　答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。

　　引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

　　1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

　　2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

　　答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。

　　3．选出三种方法中最简单的一种。

　　练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数。

　　2．三个连续奇数的和是321，求这三个数。

　　3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。

　　学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。

　　例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。

　　分析：数与数字的关系是：

　　两位数十位数字个位数字。

　　三位数百位数字十位数字个位数字。

　　解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。

　　据题意，得，

　　整理，得，

　　解这个方程，得（不合题意，舍去）

　　当时，

　　答：这个两位数是24。

　　以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。

　　注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。

　　练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）

　　教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。

　　四、布置作业

　　补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。

　　五、板书设计

　　探究活动

　　将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？

　　参考答案：

　　精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000

　　当时，50+=60，500=400

　　当时，50+=80，500=200

　　所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.

一元二次方程教学设计8

　　一、教学目标

　　1.知识与技能

　　(1)会根据增长率问题中的数量关系和等量关系，列出一元二次方程，并能对方程解的合理性作出解释；

　　2.过程与方法

　　通过猜想、探讨构建一元二次方程模型．

　　3.情感、态度与价值观

　　（１）通过自主、探究性学习，使学生养成良好的思维习惯；

　　（２）通过对方程解的合理性解释，培养学习实事求是的作风．

　　二、教学重点难点

　　1.重点

　　找出问题中的数量关系；

　　2.难点

　　找等量关系并列出相应方程．

　　三、教材分析

　　本节课是从实际问题引入的基本概念，学习方程的基本解法之后所提出的一些实际问题，以及最后一节的实践与探索，都是为了给与学生都创造一些探索交流的机会，让学生了解数学知识的发展，学会解决一些简单问题的方法，特别是从实际情景寻找所隐含的数量关系，建立适当的数学模型．

　　四、教学过程与互动设计

　　（一）温故知新

　　1.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：

　　第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；

　　第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；

　　第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式(简称关系式)，从而列出方程；

　　第四步：解这个方程，求出未知数的值；

　　第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案(包括单位名称.)

　　2.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样.

　　我们先来解一些具体的题目，然后总结一些规律或应注意事项.

　　（二）创设情景，导入新课

　　1．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米．

　　若梯子的顶端下滑1米，那么

　　（1）猜一猜，底端也将滑动

　　1米吗？

　　（2）列出底端滑动距离所满足的方程．

　　【答案】①底端将滑动1米多

　　②提示：先利用勾股定理在实际问题中的应用，说明数学来源于实际．

　　2．【探究活动】1.某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的`利润平均增长的百分率是多少（精确到0.1％）？

　　（１）学生讨论：怎样计算月利润增长百分率？

　　【点评】通过学生讨论得出月利润增长百分率＝月增利润/月利润

　　例8 某商品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．

　　分析：若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的（1-x）倍,即56（1-x）；第二次降价的百分率仍为31.5x，则第二次降价后零售价为原来的56（1-x）的（1-x）倍．

　　解：设平均降价百分率为x，根据题意，得

　　56（1-x）2=31.5

　　解这个方程，得

　　x 1 = 1.75，x2=0.25

　　因为降价的百分率不可能大于1，所以x1 = 1.75不符合题意，符合题意要求的是x=0.25=25%

　　答每次降价百分率为25%．

　　【跟踪练习】

　　某药品经两次降价，零售价降为原来的一半．已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率（精确到0.1％）．

　　【友情提示】我们要牢牢把握列方程解决实际问题的三个重要环节：①整体地，系统地审清问题；②把握问题中的等量关系；③正确求解方程并检验解的合理性．

　　（三）应用迁移，巩固提高

　　1．某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

　　（

　　A）200(1+a％)2=148 （B）200(1－a％)2=148

　　（C）200(1－2a％)=148 （D）200(1－a2％)=148

　　2．为绿化家乡，某中学在20xx年植树400棵，计划到20xx年底，使这三年的植树总数达到1324棵，求此校植树平均增长的百分数？

　　(四)达标测试

　　1．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）

　　A、100(1+x)2=800 B、100+100×2x=800 C、100+100×3x=800 D、100[1+(1+x)+(1+x)2]=800

　　2．某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为，根据题意列方程.

　　，一元二次方程的解法

　　3．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少?

　　4．某小组计划在一季度每月生产100台机器部件,二月份开始每月实际产量都超过前月的产量,结果一季度超产20%,求二,三月份平均每月增长率是多少?(精确到1%)

　　5．某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数

　　五、课堂小结

一元二次方程教学设计9

　　教学目标

　　知识技能：掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。

　　过程与方法：通过探索球积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。

　　情感态度：鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。

　　重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的.解，还会进行推理判断。

　　难点：把数学问题转化为数学问题。

　　关键：从积分表中找出等量关系。

　　教具：投影仪。

　　教法：探究、讨论、启发式教学。

　　教学过程

　　一、创设问题情境

　　用投影仪展示几张比赛场面及比分(学习是生活需要，引起学生兴趣)

　　二、引入课题

　　教师用投影仪展示课本106页中篮球联赛积分榜引导学生观察，思考：① 用式子表示总积分能与胜、负场数之间的数量关系;

　　②某队的胜场总分能等于它的负场总积分么?

　　学生充分思考、合作交流，然后教师引导学生分析。

　　师：要解决问题①必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积几分么?你选择哪一行最能说明负一场积几分?

　　生：从最下面一行可以发现，负一场积1分。

　　师：胜一场呢?

　　生：2分(有的用算术法、有的用方程各抒己见)

　　师：若一个队胜a场，负多少场，又怎样积分?

　　生：负(14-a)场，胜场积分2a，负场积分14-a，总积分a+14.

　　师：问题②如何解决?

　　学生通过计算各队胜、负总分得出结论：不等。

　　师：你能用方程说明上述结论么?

　　生：老师，没有等量关系。

　　师：欸，就是，已知里没说，是不是不能用方程解决了?谁又没有大胆设想?

　　生：老师，能不能试着让它们相等?

　　师：伟大的发明都是在尝试中进行的，试试?

　　生：如果设一个队胜了x场，则负(14-x)场，让胜场总积分等负场总积分，方程为：2x=14-x解得x=4/3(学生掌声鼓励)

　　师：x表示什么?可以是分数么?由此你的出什么结论?

　　生：x表示胜得场数，应该是一个整数，所以，x=4/3不符合实际意义，因此没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。

　　师：此问题说明，利用方程不仅求出具体数值，而且还可以推理判断，是否存在某种数量关系;还说明用方程解决实际问题时，不仅要注意方程解得是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。

　　拓展

　　如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系吗?

　　师：我们可以从积分榜中积分不相同的两行数据求的胜负一场各得几分，如：一、三行。

　　教师引导学生设未知数，列方程。学生试说。

　　生：设胜一场积x分，则前进队胜场积分10x，负场积分(24-10x)分，它负了4场，所以负一场积分为(24-10x)/4,同理从第三行得到负一场积分为(23-9x)/5，从而列方程为(24-10x)/4=(23-9x)/5。解得x=2，当x=2时，(24-10x)/4=1。仍然可得负一场积1分，胜一场积2分。

　　三、巩固练习

　　已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见表：

　　海拔高度(单位：m)

　　100

　　200

　　300

　　400

　　平均气温(单位：℃)

　　22

　　21.5

　　21

　　20.5

　　20

　　若某种植物适宜生长在18℃20℃(包括18℃20℃)的山区，请问该植物适宜种在海拔为多少米的山区?

　　学生分析题意，思考，在练习本上完成，然后同桌小议，代表发言，教师点拨。

　　四、课堂小结：

　　让几个学生谈自己的收获，再让一个学生全面总结。

　　五、布置作业：

　　课本108页8、9题。

　　六、教学反思

　　本节课主要是借球赛积分表问题传授数学知识的应用。在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的基础上，本节进一步以探究的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。要探究的问题比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近。本节的重点是建立实际问题的方程模型。通过探究活动，进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决问题的能力。

　　由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难点，教师要恰当的引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的主要相等关系，但教师不要代替学生的思考。

一元二次方程教学设计10

　　教学目标

　　掌握b2—4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2—4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2—4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用。

　　通过复习用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2—4ac=0、b2—4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。

　　重难点关键

　　1。重点：b2—4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；b2—4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；b2—4ac<0 一元二次方程没有实根。

　　2。难点与关键

　　从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2—4ac的情况与根的情况的关系。

　　教具、学具准备

　　小黑板

　　教学过程

　　一、复习引入

　　（学生活动）用公式法解下列方程。

　　（1）2x2—3x=0 （2）3x2—2 x+1=0 （3）4x2+x+1=0

　　老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2—4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2—4ac=12—12=0，有两个相等的实根；（3）b2—4ac=│—4×4×1│=<0，方程没有实根。

　　二、探索新知

　　方程b2—4ac的值b2—4ac的符号x1、x2的关系

　　（填相等、不等或不存在）

　　2x2—3x=0

　　3x2—2 x+1=0

　　4x2+x+1=0

　　请观察上表，结合b2—4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的`猜想。

　　从前面的具体问题，我们已经知道b2—4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

　　求根公式：x= ，当b2—4ac>0时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元一次方程的x1= ≠x1= ，即有两个不相等的实根。当b2—4ac=0时，根据平方根的意义 =0，所以x1=x2= ，即有两个相等的实根；当b2—4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解。

　　因此，（结论）（1）当b2—4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= 。

　　（2）当b—4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= 。

　　（3）当b2—4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。

　　例1。不解方程，判定方程根的情况

　　（1）16x2+8x=—3 （2）9x2+6x+1=0

　　（3）2x2—9x+8=0 （4）x2—7x—18=0

　　分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2—4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。

　　解：（1）化为16x2+8x+3=0

　　这里a=16，b=8，c=3，b2—4ac=64—4×16×3=—128<0

　　所以，方程没有实数根。

　　三、巩固练习

　　不解方程判定下列方程根的情况：

　　（1）x2+10x+26=0 （2）x2—x— =0 （3）3x2+6x—5=0 （4）4x2—x+ =0

　　（5）x2— x— =0 （6）4x2—6x=0 （7）x（2x—4）=5—8x

　　四、应用拓展

　　例2。若关于x的一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）。

　　分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>—3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0。因为一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数根，即（—2a）2—4（a—2）（a+1）<0就可求出a的取值范围。

　　解：∵关于x的一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数根。

　　∴（—2a）2—4（a—2）（a+1）=4a2—4a2+4a+8<0

　　a<—2

　　∵ax+3>0即ax&

　　gt；—3

　　∴x<—

　　∴所求不等式的解集为x<—

　　五、归纳小结

　　本节课应掌握：

　　b2—4ac>0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2—4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2—4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用。

　　六、布置作业

　　1。教材P46 复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2。

　　2。选用课时作业设计。

　　第7课时作业设计

　　一、选择题

　　1。以下是方程3x2—2x=—1的解的情况，其中正确的有（ ）。

　　A。∵b2—4ac=—8，∴方程有解

　　B。∵b2—4ac=—8，∴方程无解

　　C。∵b2—4ac=8，∴方程有解

　　D。∵b2—4ac=8，∴方程无解

　　2。一元二次方程x2—ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）。

　　A。a=0 B。a=2或a=—2

　　C。a=2 D。a=2或a=0

　　3。已知k≠1，一元二次方程（k—1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）。

　　A。k≠2 B。k>2 C。k<2且k≠1 D。k为一切实数

　　二、填空题

　　1。已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________。

　　2。不解方程，判定2x2—3=4x的根的情况是______（填"二个不等实根"或"二个相等实根或没有实根"）。

　　3。已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2—（2a+b）x+（a+ab—2b2）=0的根的情况是________。

　　三、综合提高题

　　1。不解方程，试判定下列方程根的情况。

　　（1）2+5x=3x2 （2）x2—（1+2 ）x+ +4=0

　　2。当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况。

　　3。不解方程，判别关于x的方程x2—2kx+（2k—1）=0的根的情况。

　　4。某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团20xx年投入新产品开发研究资金为4000万元，20xx年销售总额为7。2亿元，求该集团20xx年到20xx年的年销售总额的平均增长率。

一元二次方程教学设计11

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。

　　（二）教学目标

　　知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。

　　数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。

　　解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。

　　情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。

　　（三）教学重、难点

　　重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。

　　难点：理解求根公式的推导过程和判别式

　　二、教学法分析

　　教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。

　　学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的'思维能力得到培养。

　　三、过程分析

　　本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习课时小结——布置作业。

　　1、复习引入：

　　这节课，我首先从旧知

　　问题（1）用配方法解方程2x28x90的练习引入，

　　问题（2）总结配方法的一般步骤（化一般方程——二次项系数为1——配方使左边为完全平方式——两边开方——求解）。

　　设计意图：让学生巩固昨天的知识，进一步熟练钥匙并为今天做学的内容解一般形式的一元二次方程做好铺垫，达到“温故而知新”。

　　2、问题呈现：

　　你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？

　　此处由一个特殊的旧知引导学生推导出一般的结果，希望学生学会由特殊性到一般化的思想。为降低b2b24ac推导的难度，化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到(x这步时，提出 )

　　问题：①此时可以直接开平方吗？

　　②等号右边的值需要满足什么条件？为什么？

　　③等号右边的值只跟哪个式子有关？

　　设计意图：师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便于将主要精力放在后边公式的推导上。通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助，借助小组的交流完善答案，关键让学生会对掌握b24ac与方程有无实数根的关系，这里分类思想也是今后常用的一种数学思想，b24ac进行讨论，

　　应加以强化。

　　最终总结出：

　　当b24ac＜0时，原方程无实数解。

　　当b24ac≥0时，原方程有实数解，

　　再进一步谈论：b24ac＝0与b24ac＞0时，两个解区别？

　　（b24ac＝0时，两个相等的实数解，b24ac＞0时，两个不等的实数解）

　　由此可知，方程有解还是无解是由b24ac决定，即b24ac是方程解的判别式。

　　同时，方程的解是可以将a、b、c

　　的值带入公式x根公式”，利用它解一元二次方程叫做公式法。

　　3、例题讲解

　　例4：用公式法解下列方程

　　总结步骤：

　　1、把方程公成一般形式，并写出a,b,c的值。

　　2、求出b24ac的值

　　4、写出方程的解：x1= ,x2=

　　设计意图：规范解题格式，让学生体会数学课中的严谨的逻辑推理；体验并掌握公式法解一元二次方程的步骤，从中让学生领会到由特殊到一般，一般到特殊的辩证思想。

　　4、巩固练习

　　解下列一元二次方程：①x2x60

　　②4x2x90

　　③x2100

　　设计意图：

　　（1）熟悉公式法，强化解题格式，

　　（2）及时发现错误及时解决。

　　例5:解方程：x(x1)(x2)

　　化简得12212x3x40 2

　　强调：

　　①当方程不是一般形式时，应先化成一般形式，再运用求根公式。

　　②你还能用其他方法解本例方程吗？

　　设计意图：明确一元二次方程解题方法的多样性，让学生在你观察分析题目后灵活合理的选择解题方法，培养学生的多样化思维，提高解题能力和解题的速度。

　　5、课时小结

　　（1）学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程。

　　（2）我扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式。

　　6、布置作业：面向全体学生，注重个体差异，加强作业的针对性，分层布置作业，适应新课标，让不同的学生各其所长，因材施教的要求，提高他们的学习的兴趣和自信心。

　　四、板书设计

　　本节课内容较为单一，通过“层层设疑”、“复习回顾”等环节促进学生的思考和探究。

　　通过比较合理的问题设计巩固练习、小组讨论等形式给学生提供了充分的展示机会，强化了学生的运算能力，有利于学生掌握基本技能。

一元二次方程教学设计12

　　教材内容

　　1、本单元教学的主要内容。

　　一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题。

　　2本、单元在教材中的地位与作用。

　　一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容。

　　教学目标

　　1、知识与技能

　　了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题。

　　2、过程与方法

　　（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。

　　（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。

　　（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的`练习巩固配方法解一元二次方程。

　　（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2—4ac>0，b2—4ac=0，b2—4ac<0。

　　（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它。

　　（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题。

　　3、情感、态度与价值观

　　经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。

　　教学重点

　　1、一元二次方程及其它有关的概念。

　　2、用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

　　3、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题。

　　教学难点

　　1、一元二次方程配方法解题。

　　2、建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。

　　教学关键

　　1、分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型。

　　2、用配方法解一元二次方程的步骤。

　　3、解一元二次方程公式法的推导。

　　课时划分

　　本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

　　22.1一元二次方程2课时

　　22.2降次──解一元二次方程4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）

　　习题课1课时

　　22.3实际问题与一元二次方程3课时

　　小结1课时

一元二次方程教学设计13

　　【教学目标】

　　1、会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解。

　　2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。

　　3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。

　　【教学过程】

　　一、复习回顾：

　　1、解一元二次方程都有哪些方法？（学生口答）

　　2、列一元一次方程解应用题有哪些步骤？（学生口答）

　　①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答

　　二、问题探究：

　　（一）思考课本探究1回答下列问题：

　　（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。

　　（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。

　　（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？

　　（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？

　　（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

　　（学生在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。教给学生如何审题，分析题。）

　　三、例题学习：

　　例1：青山村种的水稻20xx年平均每公顷产7200kg，20xx年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率。 （学生独立思考、练习。一学生板书，教师巡视后讲解）

　　例2：（教材探究2）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

　　（给学生分组求解，然后比较哪个小组做的有快又准。最后比较哪种药品成本平均下降率较大。）

　　四、课堂练习：（学生独立思考、练习。一学生板书，教师巡视后讲解）

　　1、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的.小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

　　2、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？

　　五、总结反思：（由学生自己完成，教师作适当补充）

　　1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。

　　2、探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有： （常见n=2）

　　教后记：

　　本节课是一元二次方程的应用第一课时。通过本节课的教学，总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花，具体我以为有以下几个特点：

　　一、通过学生口答，复习了列方程解应用题的一般步骤及解一元二次方程的方法，为学习本节知识打好了基础。

　　二、问题探究通过问题串让学生解决的问题由浅入深，由易到难，也让学生解决问题的能力逐级上升，这样学生感到成功机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。

　　三、本节课第一个例题，是增长率问题中的一个典型例题，我在引导学生解决此题之后，进一步总结了列方程解应用题的步骤。不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。

　　四、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。

　　五、课堂上多给学生展示的机会，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。同时在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。总之，通过各种启发、激励的教学手段，帮助学生形成积极主动求知态度，课堂收效大。

　　六、需改进的方面：

　　1、由于怕完不成任务，给学生独立思考时间安排有些不合理，这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。例如例2有多种解法，课后一些学生与老师交流，但课上没有得到充分的展示、

　　2、只考虑扑捉学生的思维亮点，一学生列错了方程，我没有给予及时纠正。导致使一些同学陷入误区、

　　3、下课后很多学生和我沟通课上一学生的错误问题，但他们上课并不敢提出，有点却场，所以平时要培养学生敢想敢说敢于发表个人的不同见解的学风。

一元二次方程教学设计14

　　一、复习引入

　　1、已知方程 x2—ax—3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。

　　2、有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？

　　3、有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1= ，x2= 、观察两式左边，分母相同，分子是—b+√b 2—4ac与—b—√b 2—4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？

　　二、探索新知

　　解下列方程，并填写表格：

　　方 程x1x2x1+x2x1、 x2

　　x2—2x=0

　　x2+3x—4=0

　　x2—5x+6=0

　　观察上面的表格，你能得到什么结论？

　　（1）关于x的方程 x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

　　（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

　　解下列方程，并填写表格：

　　方 程x1x2x1+x2x1、 x2

　　2x2—7x—4=0

　　3x2+2x—5=0

　　5x2—17x+6=0

　　小结：1、根与系数关系：

　　（1）关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的`两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=—p， x1、 x2=q（注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。）

　　（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

　　即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）

　　∵ ∴

　　∴ ，

　　（可以利用求根公式给出证明）

　　例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

　　例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？

　　例3：已知一元二次方程的两个根是—1和2，请你写出一个符合条件的方程、（你有几种方法？）

　　例4：已知方程 的一个根是 ，求另一根及k的值、

　　变式一：已知方程 的两根互为相反数，求k；

　　变式二：已知方程 的两根互为倒数，求k；

　　三、巩固练习

　　1、已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值、

　　2、已知方程 的一个根为 ，求另一根及c的值、

　　四、应用拓展

　　1、已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍，求m的值、

　　2、已知两数和为8，积为9，求这两个数、

　　3、 x2—2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6、是否正确？

　　五、归纳小结

　　1、根与系数的关系：

　　2、根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零、

　　六、布置作业

　　1、不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。

　　（1）x2—5x—3=0 （2）9x+2= x2 （3） 6 x2—3x+2=0 （4）3x2+x+1=0

　　2、 已知方程x2—3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值、

　　3、 已知方程x2+bx+6=0的一个根为—2求另一根及b的值、

一元二次方程教学设计15

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

　　（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

　　二、教学重点、难点

　　1、教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

　　2、教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

　　三、教学步骤

　　（一）明确目标

　　（二）整体感知：

　　（三）重点、难点的学习和目标完成过程

　　1、复习提问

　　（1）列方程解应用问题的步骤？

　　①审题，

　　②设未知数，

　　③列方程，

　　④解方程，

　　⑤答。

　　（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）。

　　2、例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。

　　分析：

　　（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，

　　（2）设元（几种设法）。设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1。

　　以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

　　解法（一）

　　设较小奇数为x，另一个为x+2，据题意，得x（x+2）=323。

　　整理后，得x2+2x-323=0。

　　解这个方程，得x1=17，x2=-19。

　　由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17。

　　解法（二）

　　设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1。

　　据题意，得（x-1）（x+1）=323。

　　整理后，得x2=324。

　　解这个方程，得x1=18，x2=-18。

　　当x=18时，18-1=17，18+1=19。

　　当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17。

　　答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17。

　　解法（三）

　　设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1。

　　据题意，得（2x-1）（2x+1）=323。

　　整理后，得4x2=324。

　　解得，2x=18，或2x=-18。

　　当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19。

　　当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17

　　答：两个奇数分别为17，19；-19，-17。

　　引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

　　1、三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

　　2、解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

　　答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。

　　3、选出三种方法中最简单的一种。

　　练习

　　1、两个连续整数的积是210，求这两个数。

　　2、三个连续奇数的和是321，求这三个数。

　　3、已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。

　　学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的'思想方法。例2有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。

　　分析：数与数字的关系是：

　　两位数=十位数字×10+个位数字。

　　三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字。

　　解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x。

　　据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），整理，得3x2-17x+20=0，

　　当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24。

　　答：这个两位数是24。

　　练习1有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35，53）

　　2、一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。

　　教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。

　　（四）总结，扩展

　　1、奇数的表示方法为2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数。

　　数与数字的关系

　　两位数=（十位数字×10）+个位数字。

　　三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字。

　　……

　　2、通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途。

　　四、布置作业

　　教材P.42中A1、2、

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