怎么证明勾股定理_证明书

发布时间:2017-04-13  编辑:admin 手机版

怎么证明勾股定理
设ABC为一直角三角形, 直角于角C. 从点C画上三角形的高,并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因为在两个三角形中都有一个直角,而两个三角形都有A这个共同角,由此可知第三只角都是相等的。同样道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系:因为BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a 和 b/c=AH/b可以写成a*a=c*HB 和 b*b=C*AH综合这两个方程式,我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH =a*a+b*b=C*(HB+AH) =a*a+b*b=c*c
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勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、 中国、埃及、巴比伦、印度等) 对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572?~公元前497?) (右图) 于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330~公元前275)在巨著《几何原本》(第Ⅰ卷,命题47)中给出一个很好的证明。 (左图为欧几里得和他的证明图) 中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量, 那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩'得到的一条直 角边‘勾'等于3,另一条直角边’股'等于4的时候, 那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期, 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。 所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术》一书中( 约在 公元50至100年间) (右图) ,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。” 。 《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就,共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法,列为九章,可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明 (右图) 。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a) 2 。于是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 化简后便可得: a 2 +b 2 =c 2 亦即:c=(a 2 +b 2 ) (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展, 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽 (右图) 用了“出入相补法”即剪貼证明法,他把勾股為边的正方形上的某些区域剪下來(出), 移到以弦為边的正方形的空白区域內(入),結果刚好填滿,完全用图解法就解決了問題。 (左图为刘徽的勾股证明图) 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。
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